如何优雅地不定积分
2021-08-07 19:03:00
知乎上有一个不定积分王者 100 题集锦（直接搜索关键词就能找到），据答主自己说：
会做 3 道题，就足以应付相关考试
难道这就是传说中的：
那么，面对这 100 道难题，怎样才能显得从容不迫？莫非要靠手算？
看来手算显然不是。想要优雅地不定积分，不妨试试这三个工具：WolframAlpha、Integral Calculator和 Rubi 扩展包（其实主要想介绍 Rubi 扩展包，另外两个是拿来凑数的）
WolframAlpha
以一个简单的不定积分为例：
介绍 WolframAlpha 怎样优雅地完成不定积分（这个题比较简单，如果按照人的思维方式，肯定先尝试对
在 Mathematica 里连续按两次等于号，就会调出 WolframAlpha，输入表达式：
结果如下，WolframAlpha 给出了详细的积分步骤：
WolframAlpha 也是先对
除了在 Mathematica 里使用 WolframAlpha，还可以在网站 https://www.wolframalpha.com/ 或者移动端使用（网页版的 WolframAlpha 已经不能免费查看详细的积分步骤了，移动端目前还可以）
Integral Calculator
Integral Calculator 是一个免费的在线积分计算器，其主打的特点是可以给出详细的积分步骤。还有一个孪生的网站——导数计算器。
首先，输入被积表达式，一般的编程语言采用什么格式输入，这里就采用什么格式输入。输入的被积表达式会在输入框下方实时预览：
下面是官方给出的原理图，输入的表达式首先会采用调度场算法解析成机器容易理解的结构，然后用两种方式求解，一种用人类的思考方式进行求解，令一种采用 Maxima 进行求解。
点击 Go! 按钮：
有些步骤会有( steps )，比如：
点击( steps )会跳转到孪生网站，进行详细的求导运算，甚至连求导公式的推导过程都会给出，非常适合自学：
然后，它还给出了另一种换元方法，点击下面的按钮：
就会给出另一种换元的积分过程，结果如下：
Integral Calculator 和 WolframAlpha 的解法基本一致，Integral Calculator 还给出了另外一种换元方式
Integral Calculator 还可以指定上下界计算定积分：
好家伙，要是把过程中的求导运算加上，这东西计算一次，比我当年的数学分析老师讲一学期的课讲得还多。
Rubi
前面介绍的 WolframAlpha 和 Integral Calculator，都是在线计算，虽然功能十分强大，但是计算的速度并不快，有时甚至需要等待十几秒，而且离线的时候根本无法使用。下面推荐的 Rubi 积分库可以做到离线快速不定积分，并且也可以给出积分步骤。
Rubi，Rule-based Integrator 的缩写，顾名思义，基于规则的积分器。官网给出的解释：一个基于大量积分规则系统的符号积分器：
官网地址是 https://rulebasedintegration.org/，开源地址是 https://github.com/RuleBasedIntegration/Rubi，Rubi 遵循的是较为宽松的 MIT 开源协议，意味着我们不仅可以任意使用、修改，甚至可以再发布：
安装与使用的教程可以在 Rubi 的官网查看。
安装
Mathematica 11.2 或更高的版本，直接运行下面的代码安装 Rubi：
PacletInstall["https://rulebasedintegration.org/Rubi-4.16.1.0.paclet"]
Mathematica 9 或更高的版本，先下载 .paclet 格式的扩展包，下载完成后，假设路径为 path，运行下面的代码安装 Rubi：
PacletInstall[FileNameJoin[{path, "Rubi-4.16.1.0.paclet"}]
卸载
Mathematica 9 或更高的版本，运行下面的代码卸载 Rubi：
PacletUninstall["Rubi"]
配置
安装完成后，需要运行：
或者
来加载 Rubi 扩展包。Rubi 的积分规则多达 6000 多条，初次加载大概需要 1-2 分钟的时间，因为初次加载会生成 .mx 文件，以后使用只需加载 .mx 文件，不到一秒就可以完成，可以用 RubiClearMemoryImages[ ] 函数清除 .mx 文件。
简单示例
使用 Mathematica 自带的函数 Integrate 进行积分：
给出了正确结果，但是无法查看步骤。
下面使用 Rubi 提供的 Int 函数进行积分：
Rubi 也给出了正确结果，Rubi 最大的优点是可以给出积分步骤，使用 Rubi 提供的 Steps 函数查看步骤：
运行结果如下：
这乱七八糟的是什么鬼？
看似杂乱无章不知所云，其实只需牢记 Rubi 是基于规则进行积分的，就很好理解了，解释如下：
首先，Rubi 匹配出被积函数满足下面的形式：
而
是可以进行换元的： Rubi 给出的结果里的 Subst 函数表示换元，可以查看该函数的说明：
换元之后，积分变成：
结果里的 Dist 函数表示提取，可以查看该函数的说明：
之后，Rubi 匹配到
满足下面的形式： 而
是可以直接写出原函数的。在原函数里代入系数 的具体值，并换元回来，就得到了最终的结果：
所以，Rubi 积分的本质就是对积分规则进行匹配，它不像在线积分那样灵活，甚至可以说只是在生搬硬套。不过基于庞大的积分规则库，Rubi 还是可以胜任许多的不定积分。
下面再看一个简单的例子：
用 Steps 函数查看步骤：
结果如下：
对于比较复杂的第一类椭圆积分，Mathematica 自带的函数 Integrate 可以识别出来：
Rubi 也可以轻松匹配出：
用 Steps 函数查看步骤：
结果如下：
说明第一类椭圆积分也包含在 Rubi 的规则库里面。
Int 函数可以穿过列表 List，比如：
定积分
Rubi 也可以计算定积分，只需要在积分变量后指定上下界即可，比如：
通过查看 Rubi 的源代码，发现 Rubi 计算定积分的本质，是先计算不定积分，最后代入上下界，得到定积分。所以对 Rubi 来说，计算定积分和不定积分没有本质区别。
积分步骤输出成 LaTeX
Rubi 虽然能够给出积分步骤，但是步骤的可视化并不太直观，所以有大佬编写了 IntWithStepsOfTeXForm 函数，代码如下：
IntWithStepsOfTeXForm[formula_,j_]:=With[{TeX2Str=Convert`TeX`ExpressionToTeX},Steps[Int[formula,j],RubiPrintInformation->False]//Flatten//Most//Cases[RubiIntermediateResult[x_]:>"=&"<>(TeX2Str[HoldForm@@x])<>"\\\\"]//{"\\begin{aligned}",TeX2Str@HoldForm@Int[formula,j],Sequence@@#,"\\end{aligned}"}&//StringRiffle]
有了这个函数，就可以轻松地把积分过程输出成 LaTeX，下面进行测试：
配合 MaTeX 使用
上期已经介绍过 MaTeX 的使用方法，用 MaTeX 处理 IntWithStepsOfTeXForm 函数输出的 LaTeX 文本：
积分步骤的可视化已经非常明了了。
自定义积分规则
Rubi 的积分规则可以根据自己的需求进行扩展。查看 Rubi 的源代码，在 IntegrationRules 文件夹里存放的就是积分规则：
包括代数函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数、特殊函数、其他函数等九大类。以
%5Em.png)
打开，查看源代码：
所以，按照这样的格式书写自己的规则，最后重新进行封装，即可。不过 Rubi 的积分规则已经很完善，一时很难找到需要补充什么，但是通过查看源代码，发现在加载规则时，特殊函数里的 Bessel 函数是被作者注释掉的，虽然不知道作者出于什么目的，但是可以用它来举例：
使用 Mathematica 自带的 Integrate 函数对第一类贝塞尔函数积分：
但是，因为 Rubi 没有加载 Bessel 函数，所以 Rubi 的 Int 函数无法匹配第一类贝塞尔函数：
Rubi 没能够计算下去。
使用下面的代码找到 Rubi 的安装路径：
PacletFind["Rubi"]
然后，打开 Rubi.m 文件，发现 Bessel 函数确实是被注释掉的：
把该行代码取消注释，保存文件，运行下面一行代码重新加载 Rubi，加载时间约为 2 分钟：
Get["Rubi`Rubi`"]
此时再次对第一类贝塞尔函数积分，就能计算下去了：
与 Integrate 函数只相差一个无关紧要的积分常数
测试
以知乎的不定积分王者 100 题中的一部分题目作为测试对象。
下面是 Rubi 的计算结果：
结尾
本文介绍了 WolframAlpha、Integral Calculator和 Rubi 扩展包三个积分工具，下面对三者进行对比：
| 在线 | 速度 | 机制 | 分部积分 | 步骤 | 可视化 | 费用 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| WolframAlpha | 是 | 慢 | 不清楚 | 可以 | 详细 | 明了 | 收费 |
| Integral Calculator | 是 | 慢 | 模拟人类、Maxima | 可以 | 很详细 | 明了 | 免费 |
| Rubi | 否 | 快 | 匹配规则 | 不可以 | 简略 | 一般 | 开源可扩展 |