常值连续推力下航天器的运动

2021-09-25 12:00:00

本文参考了钱学森的论文《Take-off from satellite orbit》和 Battin 的专著《An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics》。

钱学森早在 1953 年就已经研究了常值连续推力下航天器的运动，时隔近七十年，很难再发现这个问题有何新颖之处，不过它所导出的一些数学结果是相当有趣的，而且基于这个问题，也能窥探出解决航天动力学问题所采用的一些解析方法。

极坐标形式的二体相对运动微分方程

已知二体问题的基本微分方程是

在下图中，定义了与航天器固联的一对正交单位向量和：

有如下关系

两式左右两边都对时间求导

由于

故

和

观察上式，很容易得到极坐标形式的二体相对运动微分方程

常值连续推力

本文不考虑常值连续推力的工程实际性，只以理想的模型来刻画问题。在下图中，从原点到航天器的方向为径向，与径向垂直的方向为横向。

下面将分别研究航天器在径向、横向的常值加速度作用下的运动。分别用、表示径向、横向的加速度。

假设航天器初始位于半径为的圆轨道上，在时刻施加一个恒定的径向加速度，此时运动方程为

对第二个方程积分，并带入初始条件，得

把代入第一个方程，得

观察到

结合以上两个式子，不难得到

航天器达到逃逸速度（抛物线速度）满足机械能为：

把相关的表达式代入，解出逃逸时的径向距离为

进而把径向速度的平方改写为

我们不希望在逃逸之前径向速度等于，否则将逃逸失败。为此，要求二次方程无解，即判别式

即

这就是常值径向逃逸加速度所要满足的条件，其中为圆轨道上的引力加速度。而且，很自然地联想到引入系数，使得，那么逃逸条件就是。

如果，说明航天器无法达到逃逸速度。此时，通过求解二次方程，得到

另外，根据前面的表达式，易知。

相比七十年前，今天我们可以“作弊”——用数值方法把轨道积分出来。设置初始圆轨道的半径为 8000km，仿真时间 10 小时，系数分别取下图的 8 个数值，对应的轨道见下图：

没有达到逃逸条件时，航天器的轨道的确存在一个最大高度。

在钱学森的论文中，逃逸时间是被计算出来了的，原理并不难，只需对

两边积分。但是这个椭圆积分非常难算，感兴趣的读者可以参考 Battin 的专著。

假设为航天器的发动机的比冲，航天器的初始质量为，那么

即

把逃逸时间代入，可得

它的图像长下面的样子（这是论文里的原图。说实话，这个曲线我没有复现出来，但是我可以证明它的趋势是对的）

分析曲线的以下特征：

当时，根据之前的分析，存在某个径向距离，使得，但是此时，航天器会向地球“跌落”。“跌落”到时，，此时，航天器再“上升”，然后再“跌落”。在这个重复的过程中，始终无法突破，航天器消耗了所有燃料，，即无穷大。（一个疑问：航天器的质量包括干重和燃料质量，燃料消耗完之后为什么会等于？不是还有干重吗？可能是认为航天器完全由燃料构成的，毕竟忽略了工程背景。如果航天器有干重，待燃料消耗完，推进加速度也消失了，那就是另一个故事了。）
当时，径向距离的最大值。此时，本质是因为推力和引力的合力正好等于向心力，可以简单验证一下：
$合力向心力$